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數學

Mandelbrot集合，用動態系統畫的一款碎形幾何圖形

數學定hông看做是咧研究數量、結構、空間佮變動的學問，有寡數學家共數學當做是公設佮定義透過推論得著的智識。

逐个社會咧測量土地、處理界界、預測天文事件‧‧的時差不多攏會得看著應用數學的影，數學通常是咧搜揣模式，無定著愛佮應用有底代，毋過Eugene Wigner捌講過"數學傷過頭仔有效"，上'純'的數學定揣著上實際的應用，現此時的自然科學、工程、經濟、醫學攏著看數學有新發展無。

希臘語的μάθημα (máthema)表示"科學、智識、學習"，μαθηματικός (mathematikós)表示"佮意學物件"，英語共數學寫做mathematics，簡寫做maths (聯邦英語)，math (美國英語)。

數學的歷史

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數學的演變會得看做講抽象的主題抑是程度直直咧增加，上早的抽象凡勢是數學，了解講兩粒蘋果佮兩粒柑仔敢若有甚物相仝的所在，數學就開始發展啊。

史前的人類會曉算具體的物件，嘛知影欲按怎算抽象的數量，像講時間（工、季、年...），會曉算，閣來就是算數（像加、減、乘、除）。

毋過欲算著愛會當寫佮一套數字系統，史前的人類凡勢是佇塗跤畫巡抑是佇柴頭刻巡來表示數量。印加帝國無書寫系統，怹利用索仔拍結的方法來算數，號做khipu。

數學的發展佮測量土地、處理界界、預測天文事件有真密切的關係，因為有需要，數學內底處理空間、結構、變動的研究綴咧發展，較路尾，欲解決燒佮光的問題，數學物理學嘛開始發展。

除去往過遮的研究的主題，數學到今嘛猶原一直咧創新。

純數學佮應用數學

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有僫解決的問題就需要數學，往過像商葉、土地測量、天文學；現此時大部份對自然科學得著靈感，誠濟數學家嘛是物理學家、像以早牛頓(Newton)發展微積分、理查‧費曼(Richard Feynman)發展費曼經濟徑積分，這馬透過處理佮對物理的深入了解，就發展出弦論 (string theory)。

有問題欲解決，研究相關的數學了後，就會得一直應用遮的數學，共有共同基礎的數學抾做伙，一寡觀念會得疊做伙，19世紀的時，就按呢共數學分做應用數學佮純數學。

數學予人感覺優雅，凡勢伊的本質就是美學，凡勢伊本身有一種美感，毋過這攏真僫明確表達，簡單性佮普遍性是數學兩个真重要的特色，遮的看起來鬥袂做伙的性質有當時仔會當結合，像講共一寡無仝分支的數學一體化，抑是發展會使共同計算的家私，純數學粗粗看敢若伊的美感有寡價值，簡單數學有趣味，毋過研究一个進展了後，純數學定會變成應用數學。

數學符號

數學的文章無蓋好讀，霍金(Stephen Hawking)1988出的時間簡史 (A Brief History of Time)內底干焦有一條數學公式，因為出版商講每一條公式就會共銷路降一半。

數學家真嚴格要求愛共想欲表達的寫清楚，總是數學猶是敢若法律條文遐歹讀，數學家擴充自然語言，用定佮真明確的數學名詞、數學符號佮文法（語法）來達到嚴格的目標，有一寡名詞借用普通的名詞，毋過意思無底代，像環(ring)、群(group)、類 (category)；有的名詞是數學專用的，像同倫(homotopy)、希伯特空間(Hilbert space)，聽講彭加勒(Henri Poincaré)hông選入去法國研究院(Académie Française)就是欲請伊來定義automorphe。

數學佮科學

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高斯(Carl Friedrich Gauss)講數學是科學的女王，數學物理學家萊德曼(Leon M. Lederman)剾洗講物理學家干焦順趁數學家，數學家干焦順趁上帝，雖罔遮爾過謙的數學家真僫揣。

數學研究的範圍

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早期的數學為著商業、測量、預測天文現像，發展結構、空間、變動的研究，像代數(algebra)、幾何學(geometry)、分析(analysis)， 後來，沓沓閣發展到邏輯佮簡單的基礎系統(foundations)佮較實用的應用數學(applied mathematics)。

數學主要的研究

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遮列的是較主要的研究題目，較完整的研究主題請參考數學主題列單。

數量 (Quantity)

咧處理數目、集合、大細(size)這類的問題佮走揣處理的方法。

$1,2,\ldots$	$0,1,-1,\ldots$	${\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},0.125,\ldots$	$\pi ,e,{\sqrt {2}},\ldots$	$i,3i+2,e^{i\pi /3},\ldots$
自然數	整數	比數	實數	複雜數 )

數目 – 自然數 – 整數 – 比數 – 實數 – 複雜數 – Hypercomplex numbers – Quaternions – Octonions – Sedenions – Hyperreal numbers – Surreal numbers – Ordinal numbers – Cardinal numbers – p-adic numbers – Integer sequences – 數學定數 – Number names – 無限 – 基底 (Base)]]

變動 (Change)

咧處理數目佮函數的變化。

$36\div 9=4$			$\int 1_{S}\,d\mu =\mu (S)$
算數 (Arithmetic)	微積分	向量微積分	分析 (Analysis)
${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}y={\frac {d}{dx}}y+c$
微分方程 (Differential equations)	動態系統 (Dynamical systems)	混沌理論 (Chaos theory)

算數 (Arithmetic) – 微積分 – 向量微積分 – 分析 (Analysis) – 微分方程 (Differential equations) – 動態系統 (Dynamical systems) – 混沌理論 (Chaos theory) – 函數列單

結構(Structure)

咧處理大細 (size)、對伨 (symmetry)佮一寡數學結構 (mathematical structure)的問題。

抽象代數	數論	群論 (Group theory)
Topology	Category theory	Order theory

抽象代數 – 數論 – 代數幾何學 – 群論 (Group theory) – Monoids – 分析 (Analysis) – Topology – 線性代數 (Linear algebra) – 圖論 (Graph theory) – Universal代數 (Universal algebra) – Category theory – Order theory – Measure theory

空間關係(Spatial relations)

會當看的數學。

Topology	幾何學	三角法	微分幾何學	碎形幾何學 (Fractal geometry)

Topology – 幾何學 – 三角法 – 代數幾何學 – 微分幾何學 – 微分topology (Differential topology) – 代數topology (Algebraic topology) – 線性代數 – 碎形幾何學 (Fractal geometry)

Discrete 數學 (Discrete mathematics)

咧處理簡單會當一个一个算的物仔。

$[1,2,3][1,3,2]$ $[2,1,3][2,3,1]$ $[3,1,2][3,2,1]$
Combinatorics	Native集合論 (Naive set theory)	計算理論 (Theory of computation)	密碼學 (Cryptography)	圖論 (Graph theory)

Combinatorics – Native集合論 (Naive set theory) – 計算理論 (Theory of computation) – 密碼學 (Cryptography) – 圖論 (Graph theory)

應用數學 (Applied mathematics)

咧解決現實問題的數學。

數學物理學 (Mathematical physics) – Mechanics – Fluid mechanics – Numerical analysis – Optimization – 機率 – 統計學 – Financial mathematics – Game theory – Mathematical biology – 密碼學 (Cryptography) – 資訊理論 (Information theory)

定理 (Theorems)

這列一寡毋是數學家嘛會感覺心適的定理，完整的資料請參考定理列單。

直角定理 (Pythagorean theorem) – Fermat最後定理 (Fermat's last theorem) – Gödel's incompleteness theorems – Cantor's diagonal argument – 四色定理 (Four color theorem) – Zorn's lemma – Euler's identity – Church-Turing thesis– Riemann hypothesis – Continuum hypothesis – Central limit theorem – 算數基本定理 (Fundamental theorem of arithmetic) – 代數基本定理 (Fundamental theorem of algebra) – 微積分基本定理 (Fundamental theorem of calculus) – Fundamental theorem of projective geometry – Gauss-Bonnet theorem.

猜測 (Conjectures)

這列一寡當咧研究的問題，完整的資料請參考猜測列單。

Goldbach猜測 – Twin prime conjecture – Collatz conjecture – Poincaré conjecture – classification theorems of surfaces – P=NP

另外，有的數學家認為continuum hypothesis佮ZFC無底代，免插伊；有的較積極咧研究。

基層佮方法(Foundations and methods)

咧思考數學的本質佮數學欲按怎研究。

Philosophy of mathematics – Mathematical intuitionism – Mathematical constructivism – 數學的基層 (Foundations of mathematics) – 集合論 – 符號邏則 (Symbolic logic) – 模型論 (Model theory) – Category theory – 邏則 – Reverse Mathematics – Sò͘-ha̍k hû-hō-pió (Table of mathematical symbols)

數學史佮數學家

請參考數學史列單

數學史 – 數學年表 – 數學家 – Fields獎 – Abel Prize – Millennium Prize Problems (Clay Math Prize) – International Mathematical Union – Mathematics competitions – Lateral thinking – Mathematical abilities and gender issues

數學的痕影

數學佮建築 – 數學佮教育 – 數學佮音樂

對數學的誤解

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數學毋是一个甚物問題攏解決掉的系統，伊內底猶真濟愛研究的問題。

假數學看起來親像數學，伊無佇學術界接受監督，有時仔閣是數學家變的，伊通常是咧討論較有名的問題，毋過伊閣毋是用人證明過的理論做基層來證明，假數學佮數學就敢若假科學佮科學親像，這款代誌會來發生的原因有：

• 無符合嚴格的要求。
• 因為某一寡因素，無遵照數學論文愛先經過同僚審查，佇學術期刊發表、... 遮的程序。
• 對文獻無蓋了解。